Transformadas
Laplace:
Es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es:
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Ejemplo gráfico:
Fourier:
La transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f de valores complejos y definida en la recta, con otra función g definida de la manera siguiente:
Donde f es L1, es decir, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y £ suelen estar asociadas a dimensiones como el tiempo segundos y frecuencia herzios respectivamente, si se utiliza la fórmula alternativa:
la constante β cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas de ellas:
Ejemplo gráfico:
Transformada de Haar:
La transformación de Haar es una transformada matemática discreta se utiliza en el procesamiento y análisis de señales en la compresión de datos y otras aplicaciones de ingeniería y ciencias de la computación. Fue propuesto en 1909 por el matemático húngaro Alfred Haar . La transformada de Haar es un caso particular de una transformada wavelet discreta donde la wavelet es un impulso cuadrado definido por:
En la figura vemos la wavelet Haar ilustra. Aunque se ha propuesto antes de la expiración wavelet a ser acuñado, la wavelet Haar es considerado como un caso particular de la wavelet Daubechies, conocido con el fin de Daubechies wavelet D2 .
La transformación de Haar puede ser usado para representar un gran número de funciones f(t) como la suma:
donde Φ(t) la función de escala se define por:
Donde Ck y dj,k son parámetros que ser calculados.
Por ejemplo, la función de paso definido por:
Se puede representar como f(t) = 4 Φ(t) +v(t). Los parámetros que deben c0 = 4 y d0,0 = 1 y cn = 0 y dn,m = 0,para n ≠0, m≠0 para el vector(4,1) igual a la discreta transformación de Haar de la función f (t), que también se puede representar en forma vectorial como (5,3). .
Transformada de Walsh:
La transformada de Walsh es muy similar a la de Hadamard.
La transformada de Walsh, W(u,v), de una imagen f(x,y) de dimensiones N x N donde N=2k viene dada por la fórmula
donde u=0,1,...,N-1 y v=0,1,...,N-1 y bj(z) es el j-ésimo bit de la representación binaria de z.
La transformada inversa de Walsh es idéntica a la anterior, intercambiando las funciones W y f:
Los núcleos de la transformada de Walsh también son simétricos y separables:
donde
Por tanto para calcular la transformada de Walsh bidimensional, se calcula dos veces consecutivas la transformada de Walsh unidimensional:
Transformada de Watershet:
En el campo del procesado de imagen, y más concretamente en el de la morfología matemática, las imágenes de niveles de gris son habitualmente consideradas como relieves topográficos. En la representación topográfica de dichas imágenes la altura de cada punto corresponde con el nivel de píxeles correspondiente. Esta representación es muy adecuada para poder percibir mejor el efecto de una deteminada transformación sobre una imagen. Por ejemplo, que una apertura elimine algunos picos y líneas de cresta, mientras que el cierre tiende a rellenar valles o pequeñas llanuras.
La técnica de Watersehed constituye una de las más poderosas herramientas de segmentación aportada por la morfología matemática.
Análogamente a otras técnicas de segmentación, el objetivo de la técnica del Watershed es dividir en regiones la imagen de nivel de grises analizada. Generalmente una de ellas se corresponde con el fondo de la imagen y el resto con los objetos o regiones que se pretende extraer. El objetivo último de esta técnica es determinar los contornos que definen dichos objetos. En este punto el problema es definir qué es contorno y que no lo es.
Algunas de las técnicas se basan en el estudio de los cruces por cero de la segunda derivada o en detector de determinados tipos de perfiles. En el campo de la morfología matemática, son otro tipo de aproximaciones las que habitualmente se utilizan.
El punto de partida es considerar que los contornos de una imagen se corresponden con las líneas donde el nivel de gris varía más rápidamente que en un determinado entorno vecino. Se define la imagen grad(I), la cual está formada por píxeles cuyo valor es el módulo del gradiente en dicho punto (conocida como imagen gradiente). De esta manera, se considera que los contornos de la imagen original se corresponden con las líneas de cresta de la imagen gradiente.
Algoritmo de Watershed.‐El concepto de watershed se basa en visualizar una imagen en 3 dimensiones (3D): dos coordenadas espaciales vs. niveles de gris. En esta interpretación 'topográfica', consideramos tres tipos de puntos:
1. puntos que corresponden a mínimos locales.
2. puntos en los que,si se coloca una gota de agua, esta cae con certeza en un único mínimo.
3. puntos en los que el agua caería con igual probabilidad en más de uno
de estos mínimos.
Para un mínimo local particular, el conjunto de puntos que satisfacen la condición (2) se llama catchment basin o watershed o cuenca de este mínimo.Los que satisfacen la condición (3) forman líneas de cresta en la superficie topográfica y son llamadas líneas divisorias o líneas de Watershed o líneas de cresta.El objetivo principal de los algoritmos de
segmentación es alcanzar estas líneas divisorias o de cresta.
La idea básica es la siguiente: supongamos que se hace un pequeño agujero en cada mínimo local, y que todo el relieve topográfico es inundado desde abajo, dejando que el agua entre a velocidad constante. El agua va subiendo e inundando las cuencas. Cuando el agua de dos cuencas está a punto de juntarse, se construye un dique (dam) para evitar la fusión. La inundación continúa, y llega a un punto en que solo se ve la parte de arriba de los diques por arriba de la línea de agua. Las líneas de watershed forman un camino conexo, dando por lo tanto bordes continuos entre las regiones.
Por otro lado, el uso de la imagen gradiente, para aplicar directamente sobre ella la técnica de Watershed, no constituye un buen método de segmentación, pues habitualmente el uso directo de la imagen gradiente para detectar las líneas de contorno produce el efecto conocido con el nombre de sobresegmentación. Este efecto provoca que los verdaderos contornos queden enmascarados por una infinidad de contornos falsos o irrelevantes. Esto es así aunque se haya tomado la precaución de filtrar previamente la imagen original o su correspondiente imagen gradiente. Habitualmente, la sobresegmentación es debida a la presencia de ruido. Pero también los efectos de las texturas o de objetos presentes poco relevantes que no se desean segmentar provocan la aparición de falsos contornos asociados a multitud de valles o zonas de depresión que no se corresponden con objetos o regiones. Para solucionar esta sobresegmentación existen dos posibilidades:
1. Eliminar los contornos irrelevantes una vez realizado el watershed.
2. Modificar la imagen gradiente de tal forma que las regiones de depresión o valles se correspondan únicamente con los objetos deseados.
La segunda posibilidad es la que se implementa en esta aplicación. Una vez extraídos los marcadores, una transformación morfológica basada en operaciones geodésicas permite:
1. Imponer marcadores como mínimos de la imagen gradiente.
2. Suprimir todos los demás mínimos del gradiente, los irrelevantes, rellenando los correspondientes valles.
3. Preservar las líneas de cresta más importantes de la imagen gradiente, localizadas entre los marcadores.
Esta transformación es denominada variación de la homotopía del gradiente, o simplemente, modificación del gradiente. El cálculo de las líneas de cresta o watershed de la imagen gradiente modificada aporta los resultados esperados: el marcador del fondo recompone el mismo, mientras que el resto de los contornos obtenidos se corresponden con los límites de los objetos que se deseaba detectar.